Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
L’objet de cet exposé est d’étudier des bornes d’holonomie, c’est-à-dire des bornes sur la dimension du \(\mathbb{Q}(X)\) sous-espace vectoriel de \(\mathbb{Q}(\!(X)\!)\) engendré par certaines séries formelles dans \(\mathbb{Q}[\![X]\!]\) qui satisfont des conditions à la fois arithmétiques et analytiques.
Nous expliquerons comment la méthode des pentes en géométrie d’Arakelov permet d’obtenir des bornes d’holonomie, et comment la notion de famille éleuthère (qui affine celle de famille de séries \(\mathbb{Q}(X)\)-linéairement indépendantes) intervient dans leur preuve.
En 1967, Anosov a montré que le flot géodésique d’une surface à courbure négative a des propriétés de hyperbolicité fortes, ce que nous appelons maintenant un flot d’Anosov. Les deux exemples basiques de flots d’Anosov sont la suspension d’un difféomorphisme d’Anosov et les flots géodésiques (sous des conditions sur la courbure). Quand la dimension de la variété qui porte le flot est \(3\), des chirurgies permettent de construire d’autres flots d’Anosov. Ces chirurgies changent le flot et la variété, nous obtenons ainsi beaucoup d’exemples. Par ailleurs, la dynamique de ces flots interagit avec la topologie de la variété : toute variété de dimension \(3\) n’admet pas un flot d’Anosov.
Dans l’exposé je vais présenter certaines des chirurgies sur les flots d’Anosov, ainsi que des résultats sur les contraintes topologiques imposées par le flot sur la variété qui le porte.
Attachés aux groupes, les invariants de remplissage homologiques constituent un raffinement quantitatif des propriétés de finitude en faisant intervenir le volume des chaînes. Au début des années 1990, Gromov et Thurston formulèrent des conjectures au sujet des invariants de remplissage de groupes, comme \(\mathrm{SL}(n,\mathbf Z)\), affirmant que la géométrie d’un groupe ambiant, comme le groupe de Lie \(\mathrm{SL}(n,\mathbf R)\), se reflète dans ces invariants : le rang du groupe ambiant marque le seuil d’une transition entre des régimes polynomiaux et (presque) exponentiels. Ce phénomène a été progressivement confirmé par Lubotzky–Mozes–Raghunathan, Leuzinger–Pittet, Druţu et Young notamment, aboutissant à une résolution des conjectures par Leuzinger–Young vers 2017. La polynomialité des invariants de remplissage aux degrés sous le seuil a plus récemment joué un rôle dans l’obtention d’annulations en cohomologie unitaire par Bader–Sauer. Cet exposé proposera une introduction à quelques-unes des méthodes géométriques et ergodiques de Leuzinger–Young et leurs prédécesseur-e-s, illustrée par des exemples.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
L'entrée est libre.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Au carrefour de la dynamique et de la topologie, les flots d’Anosov sur les \(3\)-variétés constituent une classe fondamentale de systèmes dynamiques. À équivalence orbitale près, l’espace de ces flots sur une variété donnée forme un ensemble au plus dénombrable.
La compréhension globale de ces objets s’articule autour de trois problématiques : l’existence (quelles \(3\)-variétés admettent un flot d’Anosov ?), l’abondance (une variété peut-elle admettre un nombre arbitrairement grand de flots distincts ?) et la surabondance (peut-elle en admettre une infinité ?). Bien que le problème de l’existence résiste encore à une classification complète, des travaux récents ont apporté des réponses positives à la question de l’abondance, tout en établissant des théorèmes de finitude excluant la surabondance dans de nombreux cas.
Cet exposé dressera un panorama de ces développements récents, en articulant les techniques de construction et les obstructions. Un rôle central y est joué par l’espace des orbites du flot relevé au revêtement universel. Son étude a récemment permis à Barthelmé, Frankel et Mann de prouver qu’un flot d’Anosov est uniquement déterminé, à équivalence orbitale près, par l’ensemble des classes de conjugaison du groupe fondamental représentées par des orbites périodiques. Ce résultat fournit un outil de distinction fondamental.
Soit \((M,g)\) une variété riemannienne complète. Si les courbures sectionnelles de \(g\) sont toutes positives ou nulles, il découle du théorème de Cheeger–Gromoll (1972) que le groupe fondamental \(\pi_1(M)\) est de type fini et virtuellement abélien.
Supposons seulement que \((M,g)\) a sa courbure de Ricci positive ou nulle. Milnor a montré en 1968 que tous les sous-groupes de type fini de \(\pi_1(M)\) sont à croissance polynomiale et donc virtuellement nilpotents par le théorème de Gromov (1981). Réciproquement, Wei (1988) et Wilking (2000) ont montré que tout groupe de type fini virtuellement nilpotent peut se réaliser comme le groupe fondamental d’une variété complète à courbure de Ricci positive ou nulle.
Milnor avait conjecturé que \(\pi_1(M)\) est toujours de type fini sous cette hypothèse d’une courbure de Ricci positive ou nulle. L’objectif principal de cet exposé est de présenter un contre-exemple à cette conjecture introduit par Bruè–Naber–Semola : il existe sur \(\widetilde M = \mathbb S^3 \times \mathbb R^4\) une métrique riemannienne à courbure de Ricci positive ou nulle qui admet une action isométrique sans point fixe du groupe \(\mathbb Q / \mathbb Z\). La construction repose sur un processus itératif délicat, qui donne asymptotiquement à \(\widetilde M\) une forme « fractale ».
Je présenterai des idées récentes de Calegari, Dimitrov et Tang pour établir l’irrationalité de certaines périodes. Ils démontrent notamment que la valeur de la fonction \(L\) de Dirichlet \(L(2, \chi_{-3})= 1-1/4+1/16-1/25+1/49-\cdots\) est irrationnelle, et même que les nombres \(1\), \(\zeta(2)\) et \(L(2, \chi_{-3})\) sont linéairement indépendants sur \(\mathbf{Q}\). Un aspect remarquable de leur méthode est qu’elle ne nécessite pas la construction de nouvelles approximations rationnelles convergeant rapidement vers ces nombres. Elle repose plutôt sur des bornes supérieures pour les dimensions d’espaces vectoriels engendrés par certaines fonctions \(G\) dont les coefficients possèdent des dénominateurs contrôlés. Les travaux de Bost et Charles fournissent une interprétation de ces « bornes d’holonomie arithmétique » en termes de la méthode des pentes en géométrie d’Arakelov, et constituent un ingrédient clé pour obtenir des estimations suffisamment fortes pour les applications à l’irrationalité.
La cohomologie à valeurs dans des représentations unitaires a de multiples applications en-dehors de la pure théorie des groupes : en arithmétique et en géométrie notamment. La situation où le groupe considéré est un groupe de Lie, et celle où c’est un groupe discret, sont liées (par induction) quand ce dernier est un réseau d’un groupe de Lie. Classiquement, on passe ainsi de calculs de cohomologie de groupes discrets à des calculs de cohomologie à coefficients unitaires pour des groupes de Lie semi-simples. Les coefficients sont plus gros mais le groupe ambiant a une structure bien comprise, qui rigidifie la situation ; au moyen de réductions supplémentaires, on est ramené à des calculs de cohomologie relative d’algèbres de Lie (Borel et Wallach). Les travaux de Bader et Sauer permettent de se passer de l’hypothèse de cocompacité des réseaux et fournissent, entre autres, des résultats d’annulation jusqu’au rang du groupe de Lie ambiant. Les techniques utilisées reposent sur une combinaison d’algèbre homologique et d’analyse fonctionnelle, ainsi que sur l’usage inédit d’ingrédients de théorie géométrique des groupes.
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
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