Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
L'entrée est libre.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Dans les années 1970, Quillen a placé l’espace projectif complexe de dimension infinie, au cœur d’un lien mystérieux entre deux catégories d’objets mathématiques : d’un côté, les différents types de théories cohomologiques (singulière, de Rham, K-théorie, cobordisme, etc.), et de l’autre, les groupes formels. Les travaux de Landweber, Lurie, Miller, Ravenel, Morava, Devinatz, Hopkins, Smith, entre autres, ont, au fil des années, permis de développer et d’élargir ce dictionnaire, donnant naissance à ce que l’on appelle aujourd’hui la théorie chromatique. Le but de cet exposé, c’est de donner une introduction au sujet et de présenter un de ses éléments centraux : les K-théories de Morava.
Le séminaire Bourbaki a été fondé en 1948. Au rythme de quatre séances par an, il tente d'offrir un panorama des développements mathématiques actuels.
L'entrée est libre.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéatre Charles Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
In 1996, Nadirashvili discovered a beautiful connection between minimal surfaces in round spheres and an optimization problem for Laplace eigenvalues on a surface. This gave a surprising analytic perspective on minimal surfaces and opened the way for many important results.
Here, we will focus on the recent paper from 2024 by Karpukhin–Kusner–McGrath–Stern, who use equivariant eigenvalue optimization to construct many new examples of minimal surfaces in the three-dimensional unit sphere \(\mathbb S^3\). Using similar methods, they also find many new free boundary minimal surfaces in the three-dimensional unit ball \(\mathbb B^3\), in particular obtaining examples for every topological type. This was a central open problem in the field, posed by Fraser–Li in 2014, whose analogue in \(\mathbb S^3\) was solved by Lawson in 1970. Note that free boundary minimal surfaces in round balls enjoy a connection with another eigenvalue problem, namely the Steklov problem, by a result of Fraser–Schoen.
In the talk, we will give an overview of the results. We will present the ingredients in the proof of Karpukhin–Kusner–McGrath–Stern (including previous results by Petrides from 2014 and Karpukhin–Stern from 2020) and we will focus on the novel techniques of the paper. These have already spurred important advances in the study of Laplace eigenvalue optimization by Petrides (2024) and Karpukhin–Petrides–Stern (2025).
Soient \(X\) une variété projective irréductible et \(f\colon X \to X\) une transformation rationnelle de \(X\). Nous disposons alors d’un système dynamique algébrique. L’espace des phases est \(X\) et l’évolution d’un point \(x\) de \(X\) est régie par \(f\) : la trajectoire décrite par \(x\) au cours du temps est la suite \(x\), \(f(x)\), \(f(f(x))\), …, \(f^n(x)\), …, où \(f^n\) désigne la \(n\)-ème itération de \(f\). Les degrés dynamiques de \(f\) sont une collection finie de nombres réels positifs \(\lambda_k(f)\), un pour chaque codimension \(k\) comprise entre \(0\) et la dimension de \(X\). Par exemple, lorsque \(X\) est l’espace projectif et \(H_k\) est un sous-espace projectif de codimension \(k\), \(\lambda_k(f)\) mesure le taux de croissance exponentiel du degré de \((f^n)^*H_k\), quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Les degrés dynamiques permettent donc d’appréhender la complexité d’un tel système dynamique. Cet exposé présentera les principales propriétés des degrés dynamiques, notamment leur construction, leur invariance par conjugaison, leur semi-continuité et leur lien avec des notions plus classiques en systèmes dynamiques.
La catégorie des spectres \(\mathrm{Sp}\) —au sens de la topologie algébrique— est composée d’objets qui représentent les théories de cohomologie et permettent l’étude, par exemple, des groupes d’homotopie stables des sphères. Les théories de cohomologie multiplicatives sont liées aux groupes formels, dont la filtration par hauteur conduit à la filtration chromatique de \(\mathrm{Sp}\), indexée par \(\mathbb{N}\), qui encode les phénomènes de périodicité.
La conjecture du télescope de Ravenel prédit que deux descriptions du \(n\)-ième quotient de cette filtration sont égales. Elle est valable pour \(n=0\) et \(n=1\), mais Burklund, Hahn, Levy et Schlank ont démontré en 2023 qu’elle fausse pour \(n\geq 2\). Dans cette présentation, je donnerai un bref aperçu de l’homotopie stable chromatique et de la conjecture du télescope de Ravenel, j’esquisserai sa réfutation et j’évoquerai certaines des conséquences sur notre compréhension de l’homotopie stable.
A fundamental problem in the study of algebraic differential equations is determining the possible algebraic relations among different solutions of a given differential equation. Freitag, Jaoui, and Moosa have isolated an essential property, called property \(D_2\), in order to show that if a differential equation given by an irreducible differential polynomial of order \(n\) is defined over the constants and has property \(D_2\), then any number of pairwise distinct solutions together with their derivatives up to order \(n-1\) are algebraically independent. The property \(D_2\) requires that, given two distinct solutions, there is no non-trivial algebraic dependence between the solutions and their first \(n-1\) derivatives.
The proof of Freitag, Jaoui and Moosa is extremely elegant and short, yet it uses in a clever way fundamental results of the model theory of differentially closed fields of characteristic \(0\). The goal of this talk is to introduce the model-theoretic tools at the core of their proof, without assuming a deep knowledge in (geometric) model theory (but some familiarity with basic notions in algebraic geometry).
Des brochures contenant les exposés du Séminaire Bourbaki seront distribuées au début de chaque séance.
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