Ce séminaire a été créé en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. Des collègues y présentent le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire Bourbaki, pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus lointaines.
Le Séminaire Bourbaki du vendredi a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, salle 314), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
Selon la dualité de Pontryagin, un groupe abélien localement compact est déterminé par son groupe dual, formé des caractères unitaires. Lorsque le groupe n’est pas abélien, les caractères ne suffisent plus à le déterminer. Néanmoins, Tannaka et Krein ont démontré qu’il est possible de reconstruire un groupe topologique compact à partir de sa catégorie des représentations, en considérant les automorphismes du foncteur d’oubli vers les espaces vectoriels qui sont compatibles avec le produit tensoriel. À partir des années 60, Grothendieck et son élève Saavedra, puis Deligne, ont importé ces idées en géométrie algébrique, dans le but d’étendre la théorie de Galois aux équations en plusieurs variables. Ils dégagent les propriétés de certaines catégories munies d’un produit tensoriel et d’un foncteur vers les espaces vectoriels, les catégories tannakiennes, et montrent qu’elles caractérisent les représentations d’un schéma en groupes affine. Après une brève discussion de la dualité de Tannaka–Krein, j’introduirai gentiment la définition et le théorème principal des catégories tannakiennes en m’appuyant sur des exemples.
Une grande partie de la théorie des probabilités est consacrée à la description de l’image macroscopique qui émerge dans des systèmes aléatoires définis par une multitude d’effets aléatoires microscopiques. Le mouvement brownien plan est l’image macroscopique qui émerge lorsqu’une particule se déplace aléatoirement dans un réseau discret bi-dimensionnel, selon une marche aléatoire. Il s’avère que toutes les caractéristiques des entrées microscopiques ne contribuent pas à l’image macroscopique. Cet effet est appelé universalité. L’objectif de cet exposé sera d’introduire le mouvement brownien plan et de discuter certaines de ses propriétés, et notamment celles qui concernent des invariances d’échelles, qui sont essentielles pour comprendre les trajectoires du mouvement brownien.
L’objectif de cet exposé est de présenter les équations de Navier-Stokes sous diverses facettes, depuis la signification physique des différents termes de l’équation jusqu’aux principaux théorèmes d’existence et d’unicité de solutions. Nous nous attacherons à expliquer les difficultés liées à la résolution de cette équation - question largement ouverte encore aujourd’hui. Nous insisterons sur la question fondamentale de l’unicité des solutions de Leray, à laquelle Albritton, Brué et Colombo ont apporté une réponse récemment.
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
La dynamique des fluides visqueux incompressibles est décrite par les équations de Navier–Stokes, pour lesquelles on dispose principalement de deux façons de construire des solutions en dimension trois. La première, due à Leray et étendue par Hopf, repose sur une méthode de compacité, et conduit à l’existence de solutions dites solutions « faibles », globales (c’est-à-dire définies pour tout temps). La seconde, due initialement à Fujita et Kato et généralisée ensuite, consiste à construire des solutions dites « fortes » par une méthode de point fixe, dans un espace fonctionnel à forte régularité. Les solutions fortes ainsi obtenues sont naturellement uniques, mais sont a priori locales. Cette dichotomie conduit naturellement à la question suivante, restée ouverte pendant presque un siècle : les solutions de Leray–Hopf sont-elles uniques ?
Récemment, Dallas Albritton, Elia Brué et Maria Colombo ont apporté une réponse négative à cette question fondamentale, en considérant le cas d’un fluide initialement au repos et soumis à une force extérieure. Leur preuve repose sur la construction d’un profil linéairement instable dans des variables auto-similaires et s’inspire d’un résultat de Vishik pour l’équation d’Euler, ainsi que des travaux de Sverak et de ses collaborateurs.
Le formalisme tannakien a d’abord été développé par l’école de Grothendieck pour les besoins de la théorie des motifs. L’idée principale est que se donner un groupe (algébrique affine sur un corps \(k\), disons algébriquement clos) est essentiellement équivalent à se donner sa catégorie de représentations en tant que catégorie monoïdale symétrique, munie du foncteur d’oubli (dit foncteur fibre) vers la catégorie des espaces vectoriels : une catégorie pré-tannakienne (monoïdale symétrique, et vérifiant des conditions nécessaires naturelles) admettant un foncteur fibre est forcément équivalente à la catégorie des représentations du groupe des automorphismes tensoriels du foncteur fibre.
Dans le cas de la caractéristique \(0\), Deligne a montré en 1990 qu’une catégorie pré-tannakienne \(\mathcal{C}\) admet un foncteur fibre (i.e. est tannakienne) si et seulement si tout objet a une puissance alternée qui est nulle. En 2002, il a montré un résultat plus général : si on suppose seulement que \(\mathcal{C}\) est à croissance modérée (pour tout objet \(V\), la longueur de \(V^{\otimes n}\) est sous-exponentielle), alors \(\mathcal{C}\) a une sorte de foncteur fibre, non pas vers les espaces vectoriels a priori, mais vers les super espaces vectoriels (espaces vectoriels \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-gradués).
L’extension de ces résultats au cas où \(k\) est de caractéristique \(p > 0\) a été un problème ouvert pendant une vingtaine d’années, mais de grands progrès ont été faits récemment. En particulier, Ostrik a identifié une catégorie de Verlinde \(\mathrm{Ver}_p\) comme but naturel des foncteurs fibres en caractéristique \(p\). Plus récemment, Coulembier, Etingof et Ostrik ont donné une certaine réponse à notre question : ils ont caractérisé les catégories pré-tannakiennes admettant un foncteur tensoriel symétrique vers \(\textrm{Ver}_p\) comme celles qui sont Frobenius-exactes et de croissance modérée (cette dernière condition pouvant être remplacée par : tout objet est annulé par une puissance alternée). Un cas particulier, qui est aussi une étape importante dans la preuve, est une caractérisation des catégories tannakiennes en caractéristique \(p\). Nous donnerons un aperçu de ces résultats, ainsi que des exemples d’applications aux représentations modulaires.
On considère la percolation indépendante critique sur le réseau carré \(\mathbb Z^2\), vu comme un graphe: Pour chaque arête, on joue à pile ou face, l’arête est gardée avec probabilité \(1/2\), elle est effacée sinon. On obtient ainsi un sous-graphe aléatoire de \(\mathbb Z^2\). La loi de ce graphe aléatoire est invariante par rotation d’angle \(\pi/2\), car elle hérite des symétries du réseau. Mais si l’on considère les grandes composantes connexes, de nouvelles symétries émergent: Hugo Duminil-Copin, Karol Kajetan Kozlowski, Dmitry Krachun, Ioan Manolescu et Mendes Oulamara ont montré que la loi de ces composantes connexes est asymptotiquement invariante par toutes les rotations. Ce résultat constitue une avancée majeure vers la compréhension des phénomènes critiques en mécanique statistique planaire: la conjecture principale dans le domaine est que la loi des grandes composantes connexes est en fait invariante par transformation conforme, et elle satisfait un principe d’universalité: cette loi asymptotique ne dépend pas du réseau sous-jacent. Dans cet exposé nous donnerons un sens rigoureux à ces énoncés, puis discuterons certains aspects essentiels: quel rôle joue le paramètre \(1/2\)? Quelles raisons heuristiques justifient l’émergence de ces symétries? Quelles sont les idées principales pour l’invariance par rotation?
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