Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et
notamment aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte
mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki, pour les
rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus
lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
16 avril 2021
Le Séminaire Betty B. a lieu en principe à l'Institut
Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Darboux), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris
5e. Les séances actuelles sont organisées à distance. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
- 17h30
- Javier Fresán — L'inépuisable dilogarithme[YouTube]
Le dilogarithme est la primitive de la série entière
définissant $-\log(1-z)/z$ dans le cercle unité. Elle admet une version univaluée, dite dilogarithme de
Bloch–Wigner , qui est une fonction analytique réelle sur la sphère de Riemann privée de trois points.
Ses valeurs en des nombres algébriques sont des exemples de périodes et interviennent en arithmétique dans le
calcul de volumes hyperboliques ou l'étude de la $K$-théorie des corps de nombres. Dans les années 80, Zagier
a démontré que la valeur en $s=2$ de la fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres s'exprime en termes de
dilogarithmes et conjecturé une généralisation de ce résultat aux valeurs en tout entier. J'expliquerai
quelques idées de la preuve, en préparation de l'exposé de Clément Dupont le lendemain au sujet des progrès
récents sur la conjecture de Zagier.
Séminaire N. Bourbaki
17 avril 2021
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu en principe à l'Institut
Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie
Curie, Paris 5e. Les séances actuelles sont organisées à distance.. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
- 10h30
-
Kęstutis Česnavičius — Reconstructing a variety from its topology
after Kollár, building on earlier work of Lieblich, Olsson [PDF] [YouTube]
As
part of the structure of a projective variety, one remembers not only the topological subspace cut out in
projective space by the vanishing of defining homogeneous polynomials, but also a sheaf of rings on that
subspace. One may wonder to what extent the topological space alone determines the variety. In spite of
counterexamples in low dimension, such determination turns out to hold in sufficiently high dimension for
normal, projective, geometrically irreducible varieties in characteristic 0. The latter is a recent
result of Kollár (that builds on earlier work of Lieblich and Olsson) and it will be the subject of this talk.
- 14h00
-
Clément Dupont — Progrès récents sur la conjecture de Zagier et le
programme de Goncharov
d’après Goncharov, Rudenko, Gangl,… [PDF] [YouTube]
La formule analytique du nombre de classes relie le
résidu en $s=1$ de la fonction zêta de Dedekind d’un corps de nombres à une quantité transcendante, le
régulateur, qui est un déterminant de logarithmes d’unités du corps de nombres. A la fin des années 80, Zagier
a conjecturé une généralisation de ce résultat classique à toutes les valeurs spéciales des fonctions zêta de
Dedekind, où les polylogarithmes remplacent le logarithme. L’existence de régulateurs supérieurs reliés à ces
valeurs spéciales résulte du calcul par Borel de la cohomologie stable du groupe linéaire, et la conjecture de
Zagier peut être vue comme une recherche de cocycles explicites pour ces groupes de cohomologie. Une
interprétation plus conceptuelle, en lien avec la théorie des motifs, a été donnée par Beilinson et Deligne.
Dans le même temps, Goncharov a développé un programme qui englobe la conjecture de Zagier dans un ensemble de
constructions et de conjectures qui visent à comprendre la K-théorie et les motifs de Tate mixtes « par
générateurs et relations ». Il sera question dans cet exposé de progrès récents sur la conjecture de Zagier et
le programme de Goncharov. On abordera notamment la preuve par Goncharov et Rudenko de la conjecture de Zagier
dans le cas de la valeur spéciale en $s=4$. La combinatoire des dissections des polygones est un ingrédient
important, qui permet d’organiser les équations fonctionnelles des polylogarithmes.
