Séminaire N. Bourbaki

25 janvier 2020

Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5^e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]

10h00

Javier Fresán — Théorie de Hodge et o-minimalité d'après Bakker, Brunebarbe, Klingler et Tsimerman [PDF] [YouTube]
Une famille de variétés projectives lisses paramétrées par une variété complexe S donne lieu, par le biais de la théorie de Hodge, à une application holomorphe de S vers un quotient d'un ouvert d'une variété de drapeaux. Bien que la cible admette rarement une structure algébrique, ces applications dites de périodes ont un comportement modéré à l'infini: elles sont définissables dans la structure o-minimale engendrée par les fonctions analytiques restreintes et l'exponentielle réelle. J'expliquerai ce théorème et quelques-unes de ses applications: une nouvelle démonstration de l'algébricité des lieux de Hodge et une démonstration d'une conjecture de Griffiths selon laquelle les images des applications de périodes sont des variétés quasi-projectives. Une partie des résultats repose sur des progrès en géométrie o-minimale, notamment un théorème de type GAGA généralisant le théorème de Chow o-minimal de Peterzil-Starchenko.

11h30

Nicolas Tholozan — Phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini d’après McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist,… [PDF] [YouTube]
Parmi les nombreuses applications des travaux de Ratner sur l’équidistribution des flots unipotents, on trouve le théorème suivant : Soit $M$ une 3-variété hyperbolique complète de volume fini. Alors toute surface totalement géodésique immergée dans $M$ est soit fermée (et donc proprement immergée), soit dense dans $M$.
L’exposé présentera certains résultats récents de McMullen, Mohammadi, Oh et Benoist qui généralisent ce théorème à une large classe de variétés hyperboliques de volume infini : les variétés géométriquement finies et acylindriques. Leurs arguments s’inspirent de ceux développés par Margulis dans sa résolution de la conjecture d’Oppenheim.

14h30

Maxime Ingremeau — Volumes des ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien d’après Logunov et Malinnikova [PDF] [YouTube]
Nous présenterons les travaux récents de Logunov et Malinnikova sur la conjecture de Yau. Celle-ci affirme que, sur une variété Riemannienne compacte $(X,g)$ de dimension $d$, le lieu d’annulation d’une fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami de valeur propre $\lambda$ possède une mesure de Hausdorff $(d-1)$-dimensionnelle comprise entre $c\sqrt{\lambda}$ et $C \sqrt{\lambda}$, où $c$ et $C$ sont des constantes ne dépendant que de la variété $(X,g)$. Cette conjecture a été prouvée lorsque $(X,g)$ est une variété analytique par Donnelly et Feffermann. Lorsque $(X,g)$ est une surface non analytique, la borne inférieure a été obtenue par Brüning, tandis que Donnelly et Feffermann ont montré une borne supérieure en $\lambda^{3/4}$. Toutefois, sur une variété non-analytique de dimension $\geq 3$, les résultats connus étaient beaucoup moins précis : les meilleurs bornes inférieures disponibles ne tendaient pas vers l'infini quand $\lambda \to +\infty$, et les meilleures bornes supérieures (obtenues par Hardt et Simon) croissaient exponentiellement avec $\lambda$. En introduisant des arguments de nature combinatoire, Logunov et Malinnikova ont montré la borne inférieure de la conjecture en toute dimension, et ont obtenu des bornes supérieures polynomiales.

16h00

Pierre-Antoine Guihéneuf — Théorie de forçage des homéomorphismes de surfaces d'après Le Calvez et Tal [PDF] [YouTube]
En 1912 Brouwer publiait son théorème de translation, qui implique par exemple qu'un homéomorphisme du plan préservant l'orientation et ayant un point périodique possède aussi un point fixe. Ce théorème a donné lieu à bon nombre de développements, débouchant entres autres sur l'obtention par Le Calvez d'un feuilletage de Brouwer équivariant pour les homéomorphismes de surface homotopes à l'identité. Récemment, Le Calvez et Tal ont utilisé ce feuilletage pour construire une théorie de forçage par essence topologique qui, à l'instar du théorème de Brouwer, permet de déduire l'existence de nouvelles orbites à partir de certaines propriétés dynamiques de l'homéomorphisme. L'exposé décrira les principes généraux de cette théorie, ainsi que quelques unes de ses très nombreuses applications.