Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et
notamment aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte
mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki, pour les
rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus
lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
Vendredi 19 octobre 2018
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'École normale supérieure (salle W), 45 rue d'Ulm,
Paris 5e. — [Affiche] [Résumés]
- 14h00
- Justin SALEZ — Spectres des grands graphes aléatoires dilués
Cet exposé est une introduction sans prérequis à l'analyse spectrale des graphes
aléatoires, dans le régime où le nombre de sommets diverge mais où les
degrés restent d'ordre constant. Après avoir rappelé quelques-uns des modèles
classiques de graphes aléatoires, nous expliquerons comment la convergence au sens de Benjamini et
Schramm permet de réduire leur étude à celle de certains arbres aléatoires
infinis. Nous décrirons ensuite l'état de l'art sur le spectre de ces objets limites, et
terminerons par un aperçu des grandes questions qui se posent encore, autour notamment du
phénomène de percolation quantique.
- 15h30
- Juliette BAVARD — Introduction à la théorie de la petite simplification
La petite simplification est une propriété de « non recouvrement » que
vérifient certaines présentations de groupes. Elle permet de mettre en évidence des
propriétés de courbure négative dans les groupes en question, dont on peut déduire
de puissants résultats. Introduite pour la première fois en 1949 par Tartakovskii, la
théorie de la petite simplification a par la suite connu des développements ayant des
applications dans de nombreux domaines, notamment via la théorie géométrique des groupes.
Dans cet exposé, je présenterai les objets et propriétés de base liés
à la théorie de la petite simplification (graphe de Cayley, groupes hyperboliques, lemme de
Greendlinger, etc). Je donnerai ensuite des exemples plus ou moins récents d'applications de cette
théorie.
Séminaire N. Bourbaki
Samedi 20 octobre 2018
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie,
Paris 5e. — [Affiche] [Résumés]
- 10h00
- Jean-Benoît BOST — Réseaux euclidiens, séries thêta et pentes,
d'après W. Banaszczyk, O. Regev, S. Dadush, N. Stephens-Davidowitz,... [PDF] [YouTube]
Au début des années 1990, Banaszczyk a introduit une technique puissante pour
étudier les invariants classiques des réseaux euclidiens (tels que leurs minima successifs ou
leur rayon de recouvrement) reposant sur l'utilisation des séries thêta qui leur sont
associées. Cette technique a joué un rôle important dans les constructions
cryptographiques faisant appel à des réseaux euclidiens de grande dimension, notamment dans les
travaux de Regev. Les travaux récents de ce dernier, en collaboration avec Dadush et
Stephens-Davidowitz, établissent des inégalités remarquables entre certains invariants
classiques des réseaux euclidiens, leurs séries thêta et leurs pentes.
- 11h30
- Romain DUJARDIN — Théorie globale du pluripotentiel, équidistribution et
processus ponctuels,
d’après Berman, Boucksom, Witt-Nyström, etc. [PDF] [YouTube]
La théorie du pluripotentiel est
un analogue dans $\mathbf C^n$ de la théorie classique du potentiel dans $\mathbf C$, qui prend ses
racines dans l'électrostatique. Sa version globale, qui concerne les variétés complexes
compactes, a connu un développement spectaculaire depuis une quinzaine d'années. Les
allers-retours entre ces deux points de vue ont récemment permis de résoudre des
problèmes classiques sur l'électrostatique et l'interpolation polynomiale dans $\mathbf C^n$ et
inversement d'envisager une approche par la mécanique statistique de la construction de
métriques canoniques en géométrie algébrique complexe.
- 14h30
- Charles BORDENAVE — Normalité asymptotique des vecteurs propres de graphes
$d$-réguliers aléatoires,
d'après Ágnes Backhausz et Balázs Szegedy [PDF] [YouTube]
Soit $P$ l'ensemble des matrices
symétriques de taille $n$ avec des entrées dans $\{0,1\}$, nulles sur la diagonale et dont la
somme de chaque ligne est égale à $d$ (avec $dn$ pair). Un élément de $P$ est la
matrice d'adjacence d'un graphe simple à $n$ sommets et $d$-régulier. Soient $A$ une matrice
aléatoire uniforme sur $P$ et $v$ un vecteur propre orthogonal au vecteur constant. Dans l'asymptotique
où $d$ est fixé et $n$ tend vers l'infini, Backhausz et Szegedy ont notamment montré que
la distribution des entrées du vecteur $v$ est proche en loi d'une gaussienne. Leur preuve se base sur
la convergence locale des graphes et la théorie de l'information.
- 16h00
- Anastasia KHUKHRO — Espaces et groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un
espace de Hilbert,
d'après Arzhantseva–Guentner–Špakula, Arzhantseva–Osajda, Osajda, et al.
[PDF] [YouTube]
Dans l'étude des espaces
métriques, c'est souvent la structure géométrique grossière qui joue un rôle
important. La théorie géométrique des groupes a permis d'étudier efficacement les
groupes en tant qu'objets géométriques via leurs graphes de Cayley et dès lors, les
propriétés géométriques grossières des groupes ont eu des implications
profondes sur plusieurs conjectures importantes en topologie et en analyse. Une façon de créer
des exemples de groupes intéressants pour ces conjectures est de plonger dans leurs graphes de Cayley
des suites de graphes finis dont on peut contrôler la géométrie. Ces dernières
peuvent également être construites à l'aide de groupes, en prenant une suite de graphes de
Cayley de quotients finis d'un groupe et en utilisant les liens entre les propriétés du groupe
et les propriétés géométriques de ces graphes.
