Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et
notamment aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte
mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki, pour les
rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus
lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
Vendredi 18 janvier 2019
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, salle 201), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e.
— [iCal] [Affiche] [Résumés]
- 14h00
- Antoine CHAMBERT-LOIR — Le théorème de réduction stable de Deligne-Mumford
L'espace de modules des courbes projectives lisses de genre $g$ est une variété algébrique
quasi-projective, mais non projective. Pour comprendre sa géométrie, il est parfois crucial d'en considérer
des compactifications. En acceptant de paramétrer également des courbes (dites stables) aux singularités
contrôlées, Deligne et Mumford en ont construit une compactification projective. Le caractère propre de cette
compactification se traduit par le théorème de réduction stable qu'ils démontrent également. (Sa projectivité
est un théorème ultérieur de Knudsen et Mumford.) L'exposé sera une introduction à ces objets.
- 15h30
- Javier FRESÁN — Cohomologies sur les corps finis : comment les comparer ?
Les conjectures de Weil sont à la source de la recherche d'une théorie cohomologique jouant, pour les
variétés algébriques sur les corps finis, un rôle semblable à celui de la cohomologie singulière pour les
variétés complexes. Serre a très tôt remarqué l'impossibilité d'avoir une telle théorie cohomologique à
coefficients réels. Par contre, il en existe à coefficients dans d'autres complétions des rationnels... et
même trop car il y en a une pour chaque choix d'un nombre premier différent de la caractéristique. Comment les
comparer ? Je présenterai un survol accessible des développements conduisant de Weil à la conjecture des
compagnons de Deligne, dont la preuve fera l'objet d'un des exposés du lendemain.
Séminaire N. Bourbaki
Samedi 19 janvier 2019
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (IHP, amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie,
Paris 5e. — [iCal] [Affiche] [Résumés]
- 10h00
- Anna CADORET — Sur la conjecture des compagnons (en dimension supérieure)
d'après Deligne, Drinfeld, Lafforgue, Abe,... [PDF] [YouTube]
La conjecture de Deligne dite des
compagnons (1980) décrit l'image essentielle des foncteurs de réalisation $\ell$-adiques (on autorise $\ell=p$) sur la catégorie hypothétique des
motifs purs de Grothendieck lorsque le corps de base est fini de caractéristique $p$. Pour les courbes,
c'est une conséquence de la correspondance de Langlands pour les corps de fonctions (le rôle des motifs étant
joué par certaines représentations automorphes) montrée par Drinfeld en rang 2, Lafforgue en rang
quelconque, et Abe pour $\ell=p$. En dimension supérieure, il n'y a pas d'analogue de la correspondance de
Langlands et la stratégie naturelle est plutôt de se ramener au cas des courbes par des méthodes géométriques.
De telles méthodes ont été développées dans des travaux récents de Deligne, Drinfeld, et Abe-Esnault/Kedlaya
pour $\ell=p$, permettant de compléter en grande partie la preuve de la conjecture en dimension supérieure.
L'exposé présentera un état des lieux de la conjecture en s'attachant plus particulièrement à décrire ces
méthodes géométriques.
- 11h30
- Sven RAUM — La C*-simplicité
d'après Kalantar-Kennedy, Breuillard—Kalantar—Kennedy—Ozawa, Kennedy et Haagerup
[PDF] [YouTube]
Un groupe est dit C*-simple
si sa C*-algèbre réduite est simple. Cet exposé commence par un résumé d'histoire de la
C*-simplicité avant 2014, l'année de la découverte par Kalantar—Kennedy que deux frontières
d'un groupe sont tout à fait les mêmes: celle de Furstenberg, provenant de la dynamique topologique, et celle
de Hamana, provenant des algèbres d'opérateurs. Cette découverte fournissait l'outil principal du travail de
Breuillard—Kalantar—Kennedy—Ozawa qui a résolu la majorité des problèmes classiques dans le
domaine de la C*-simplicité. L'interaction fascinante entre les groupes, les algèbre d'opérateurs,
la théorie des représentations et la dynamique topologique est présente dans ce travail. L'exposé finit avec
une explication des travaux de Kennedy et de Haagerup, qui connectent ces développements récents avec les
idées originales du domaine autour de la propriété de Dixmier et du radical moyennable.
- 14h30
- Stefan KEBEKUS — Boundedness results for singular Fano varieties, and applications to Cremona
groups [PDF] [YouTube]
A normal, projective variety is called
Fano if a negative multiple of its canonical divisor class is Cartier and if the associated line bundle is
ample. Fano varieties appear throughout geometry and have been studied intensely. The Minimal Model Programme
predicts in an appropriate sense that Fanos are one of the fundamental classes of varieties, out of which all
other varieties are built. We report on work of Birkar, who confirmed a long-standing conjecture of Alexeev
and Borisov-Borisov, asserting that Fano varieties with mild singularities form a bounded family once their
dimension is fixed. This has immediate consequences for our understanding of Cremona groups. Following
Prokhorov-Shramov, we explain how Birkar's boundedness result implies that birational automorphism groups of
projective spaces satisfy the Jordan property; this answers a question of Serre in the positive.
- 16h00
- Olivier BENOIST — Réduction stable en dimension supérieure
d'après Kollár, Hacon-Xu... [PDF] [YouTube]
L'espace de modules des courbes stables
de Deligne et Mumford est une compactification de l'espace de modules des courbes lisses de genre
$\geqslant2$, paramétrant certaines courbes nodales. C'est un outil puissant pour l'étude des courbes
algébriques. Des analogues en dimension supérieure ont été construits par Kollár, Shepherd-Barron et Alexeev
en dimension 2, et par Viehweg dans le cas des variétés lisses. Nous expliquerons les idées récentes ayant
permis la construction de ces espaces de modules en général, notamment le théorème de réduction stable en
dimension supérieure, qui reflète leur compacité.
