Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. J'y demande à des
collègues de présenter le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki,
pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus
lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
Vendredi 30 mars 2018
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'École normale supérieure (salle W), 45 rue d'Ulm, Paris
5e. — [Affiche] [Résumés]
- 14h00
- Clotilde FERMANIAN – Les mesures semi-classiques, une approche microlocale quantitative
Cet exposé a pour objectif de
familiariser les auditeurs avec l'utilisation de la transformée de Wigner et des mesures de Wigner, aussi
appelées mesures semi-classiques. On s'attachera à présenter ces outils dans le cadre de l'analyse microlocale
et à montrer comment ils apportent une réponse quantitative à différentes questions comme la caractérisation
des défauts de compacité d'une famille de carré intégrable faiblement convergente ou l'évolution de l'énergie
d'une famille de solutions d'une EDP, par exemple. On portera une attention particulière à l'analyse de la
concentration d'une famille de fonctions de carré intégrable sur des ensembles suffisamment réguliers,
question qui conduit au développement de mesures de Wigner 2 microlocales, notion que l'on précisera.
- 15h30
- Bernard TEISSIER – Combinatoire des polytopes à sommets entiers et géométrie algébrique
J’expliquerai comment associer à un polytope à sommets entiers une variété projective dont des invariants
reflètent les propriétés combinatoires du polytope. J’expliquerai quelques unes des conséquences de
l'existence ce dictionnaire qui permet entre autres de voyager du théorème de l’index de Hodge à l’inégalité
isopérimétrique.
Séminaire N. Bourbaki
Samedi 31 mars 2018
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et
Marie Curie, Paris 5e. — [Affiche] [Résumés]
- 11h00
- Gabriel RIVIÈRE — Dynamique de l'équation de Schrödinger sur le disque
(d'après Anantharaman, Léautaud et Macià) [PDF] [YouTube]
Dans une série de travaux récents,
Anantharaman, Fermanian–Kammerer, Léautaud et Macià ont développé des outils d’analyse semi–classique afin
d’étudier la dynamique en temps long de l’équation de Schrödinger lorsque l’hamiltonien sous–jacent est
complètement intégrable. Leur stratégie se fonde sur des méthodes de seconde microlocalisation le long de
sous–variétés invariantes du flot hamiltonien. Ce type d’analyse permet en particulier d’obtenir une
description extrêmement fine de la dynamique de l’équation de Schrödinger sur le disque qui est due à
Anantharaman, Léautaud et Macià et qui sera l’objet de cet exposé.
- 14h30
- Jean-Pierre SERRE — Distribution asymptotique des valeurs propres des endomorphismes de
Frobenius
(d'après Abel, Chebyshev, Robinson,...) [PDF] [YouTube]
Les polynômes caractéristiques d’un
motif sur un corps fini conduisent à s’intéresser aux polynômes unitaires $P \in \mathbf Z[x]$ dont les
racines appartiennent à un intervalle $I$ de la forme $[−2 \sqrt q, 2 \sqrt q]$. Si $P = \prod(x − x_i)$, la
moyenne des mesures de Dirac $\delta_{x_i}$ est une mesure $\mu_P$ sur $I$. Quelles sont les mesures limites
des $\mu_P$ lorsque $P$ varie (pour $I$ fixé), et en particulier, quels sont leurs supports ? Nous répondrons
partiellement à ces questions ; les démonstrations sont basées sur un théorème de R.M. Robinson (1964),
lui-même lié à des constructions d’Abel (1826) et de Chebyshev (1854).
- 16h00
- Antoine CHAMBERT-LOIR — Relations de Hodge–Riemann et matroïdes [PDF] [YouTube]
Les
matroïdes finis sont des structures combinatoires qui expriment la notion d’indépendance linéaire. En 1964,
G.-C. Rota conjectura que les coefficients du « polynôme caractéristique » d’un matroïde $M$, polynôme dont
les coefficients énumèrent ses sous–ensembles de rang donné, forment une suite log–concave. K. Adiprasito, E.
Katz et J. Huh viennent de démontrer cette conjecture par des méthodes qui, bien qu’entièrement combinatoires,
sont inspirées par la géométrie algébrique. À partir de l’éventail de Bergman du matroïde $M$, ils définissent
en effet un « anneau de Chow » gradué $A(M)$ pour lequel ils établissent des analogues de la dualité de
Poincaré, du théorème de Lefschetz difficile et des relations de Hodge–Riemann. Les inégalités de
log–concavité recherchées sont alors analogues aux inégalités de Khovanskii–Teissier.
