Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment
aux plus jeunes. J'y demande à des collègues de présenter le contexte
mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki,
pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire
quelques outils ou des motivations plus lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
Vendredi 30 mars 2018
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'École normale supérieure (salle W), 45 rue d'Ulm, Paris 5e.
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[Affiche] [Résumés]
- 14h00
- Clotilde FERMANIAN – Les mesures semi-classiques, une approche microlocale quantitative
Cet exposé
a pour objectif de familiariser les auditeurs avec
l'utilisation de la transformée de Wigner et des mesures de Wigner, aussi
appelées mesures semi-classiques. On s'attachera à présenter ces outils
dans le cadre de l'analyse microlocale et à montrer comment ils apportent
une réponse quantitative à différentes questions comme la caractérisation
des défauts de compacité d'une famille de carré intégrable faiblement
convergente ou l'évolution de l'énergie d'une famille de solutions d'une
EDP, par exemple. On portera une attention particulière à l'analyse de la
concentration d'une famille de fonctions de carré intégrable sur des
ensembles suffisamment réguliers, question qui conduit au développement de
mesures de Wigner 2 microlocales, notion que l'on précisera.
- 15h30
- Bernard TEISSIER – Combinatoire des polytopes à sommets entiers et géométrie algébrique
J’expliquerai comment associer à un polytope à sommets entiers une
variété projective dont des invariants reflètent les propriétés combinatoires du polytope. J’expliquerai quelques unes des conséquences
de l'existence ce dictionnaire qui permet entre autres de voyager
du théorème de l’index de Hodge à l’inégalité isopérimétrique.
Séminaire N. Bourbaki
Samedi 31 mars 2018
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (amphithéâtre Hermite),
11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e.
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[Affiche] [Résumés]
- 11h00
- Gabriel RIVIÈRE — Dynamique de l'équation de Schrödinger sur le disque
(d'après Anantharaman, Léautaud et Macià)
[PDF]
[YouTube]
Dans une série de travaux récents, Anantharaman, Fermanian–Kammerer,
Léautaud et Macià ont développé des outils d’analyse semi–classique
afin d’étudier la dynamique en temps long de l’équation de Schrödinger
lorsque l’hamiltonien sous–jacent est complètement intégrable. Leur
stratégie se fonde sur des méthodes de seconde microlocalisation
le long de sous–variétés invariantes du flot hamiltonien. Ce type
d’analyse permet en particulier d’obtenir une description extrêmement
fine de la dynamique de l’équation de Schrödinger sur le disque qui
est due à Anantharaman, Léautaud et Macià et qui sera l’objet de
cet exposé.
- 14h30
- Jean-Pierre SERRE — Distribution asymptotique des valeurs propres des endomorphismes de Frobenius
(d'après Abel, Chebyshev, Robinson,...)
[PDF]
[YouTube]
Les polynômes caractéristiques d’un motif sur un corps fini conduisent
à s’intéresser aux polynômes unitaires $P \in \mathbf Z[x]$ dont
les racines appartiennent à un intervalle $I$ de la forme
$[−2 \sqrt q, 2 \sqrt q]$. Si $P = \prod(x − x_i)$, la moyenne des
mesures de Dirac $\delta_{x_i}$ est une mesure $\mu_P$ sur $I$.
Quelles sont les mesures limites des $\mu_P$ lorsque $P$ varie (pour
$I$ fixé), et en particulier, quels sont leurs supports ? Nous
répondrons partiellement à ces questions ; les démonstrations sont
basées sur un théorème de R.M. Robinson (1964), lui-même lié à des
constructions d’Abel (1826) et de Chebyshev (1854).
- 16h00
- Antoine CHAMBERT-LOIR — Relations de Hodge–Riemann et matroïdes
[PDF]
[YouTube]
Les matroïdes finis sont des structures combinatoires qui expriment
la notion d’indépendance linéaire. En 1964, G.-C. Rota conjectura
que les coefficients du « polynôme caractéristique » d’un matroïde
$M$, polynôme dont les coefficients énumèrent ses sous–ensembles de
rang donné, forment une suite log–concave. K. Adiprasito, E. Katz
et J. Huh viennent de démontrer cette conjecture par des méthodes
qui, bien qu’entièrement combinatoires, sont inspirées par la
géométrie algébrique. À partir de l’éventail de Bergman du matroïde
$M$, ils définissent en effet un « anneau de Chow » gradué $A(M)$ pour
lequel ils établissent des analogues de la dualité de Poincaré, du
théorème de Lefschetz difficile et des relations de Hodge–Riemann.
Les inégalités de log–concavité recherchées sont alors analogues
aux inégalités de Khovanskii–Teissier.
