Séminaire Betty B.
J'ai créé ce séminaire en pensant aux mathématicien·ne·s, et notamment aux plus jeunes. J'y demande à des
collègues de présenter le contexte mathématique de certains exposés du Séminaire de mon aïeul, N. Bourbaki,
pour les rendre plus accessibles ; ils pourront aussi en introduire quelques outils ou des motivations plus
lointaines. — Betty B., Nancago, Janvier 2018.
Vendredi 22 juin 2018
Le Séminaire Betty B. a lieu à l'Université
Paris-Diderot, bâtiment Sophie Germain (salle 1009), 8 place Aurélie Nemours, Paris 13e. — [Affiche] [Résumés]
- 14h00
- Marco MACULAN — Stabilité des fibrés vectoriels
Dans le langage d'aujourd’hui, la jacobienne d’une surface de Riemann compacte $X$ est l’ensemble
des classes d’isomorphisme des fibrés en droites holomorphes de degré 0 sur $X$. Pourtant elle apparaît de
manière implicite bien avant l’introduction de ces concepts, avec l’étude des intégrales elliptiques.
S’affranchir du caractère abélien de la jacobienne a mené Weil à considérer les fibrés vectoriels holomorphes
de rang supérieur : entre autre, il calculait de manière heuristique la dimension de l’« espace de modules »
des fibrés de rang et degré donnés, alors qu’il ne savait pas s’il s’agissait d’une variété. La notion de
stabilité des fibrés — introduite par Mumford et étudiée par de nombreux mathématiciens —, la
construction de l’espace de modules ci-dessus et plusieurs exemples feront l’objet de cet exposé.
- 15h30
- Nicolas THOLOZAN — Applications harmoniques en courbure négative
La notion d’application harmonique entre deux variétés riemanniennes généralise à la fois la notion de
géodésique et celle de fonction harmonique. Le théorème d’Eells–Sampson, qui fonde en quelque sorte la
théorie, affirme qu’une application continue entre variétés riemanniennes compactes est homotope à une
application harmonique (essentiellement unique) lorsque la variété cible est de courbure négative. Ce théorème
permet donc de choisir, dans une classe d’homotopie donnée, un représentant ayant de bonnes propriétés. Il a
connu des applications spectaculaires à des problèmes de rigidité. Dans cet exposé, nous introduirons les
applications harmoniques, motiverons leur définition et présenterons la preuve du théorème
d’Eells–Sampson.
Séminaire N. Bourbaki
Samedi 23 juin 2018
Le Séminaire N. Bourbaki a lieu à l'Institut Henri Poincaré (amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et
Marie Curie, Paris 5e. — [Affiche] [Résumés]
- 10h00
- Matthew MORROW — La courbe de Fargues–Fontaine et les diamants
d'après Fargues–Fontaine et Scholze [PDF] [YouTube]
« La courbe » éponyme a été introduite
par Fargues et Fontaine en 2009 pour réinterpréter d’un point de vue plus géométrique des aspects de la
théorie de Hodge $p$-adique, notamment l’algèbre (semi-)linéaire qui apparaît dans la théorie. Du point du vue
des espaces perfectoïdes et des diamants de Scholze, la courbe admet une belle interprétation : elle classifie
les débasculements d’un perfectoïde fixé, dans le sens de la correspondance de basculement de Scholze. On
présentera dans cet exposé un survol de la courbe, de son rôle en théorie de Hodge $p$-adique et ses liens aux
diamants.
- 11h30
- François CHARLES — Conditions de stabilité et géométrie birationnelle,
d’après Bridgeland, Bayer, Macrì... [PDF] [YouTube]
La notion de condition de stabilité sur
une catégorie triangulée a été introduite par Bridgeland en 2007, traduisant en termes d’algèbre homologique
certaines constructions inspirées par la théorie des cordes. Dans le cas de la catégorie dérivée bornée de la
catégorie des faisceaux cohérents sur une courbe ou sur une surface projective lisse, cette théorie étend les
notions habituelles de stabilité sur les fibrés vectoriels, et permet la construction d’espaces de modules
associés. À la suite de travaux de Bertram et al., Bayer et Macrì ont établi un lien précis entre la structure
de l’espace des conditions de stabilité sur une surface K3 et la géométrie birationnelle des espaces de
modules correspondants et de leurs déformations, en tirant des applications géométriques remarquables. On
décrira ces développements.
- 14h30
- Alessio FIGALLI — On the Monge–Ampère equation
[PDF] [YouTube]
The Monge–Ampère equation is a
nonlinear PDE arising in several problems in the areas of analysis and geometry, such as the prescribed
Gaussian curvature equation, affine geometry, optimal transportation, etc. In this talk I will first give a
general overview of the classical theory, and then I will discuss some of the most recent and important
developments on this beautiful topic.
- 16h00
- François GUÉRITAUD — Applications harmoniques et plongements quasi-isométriques en courbure
négative pincée,
d’après Benoist, Hulin, Markovic,... [PDF] [YouTube]
Benoist et Hulin ont récemment montré
que tout plongement quasi-isométrique $f:X \rightarrow Y$ d'une variété de Hadamard à courbure pincée dans une
autre est à distance bornée d'une unique application harmonique. Le cas $X= Y=\mathbb{H}^2$ (conjecture de
Schoen) avait été résolu par Markovic. On expose l'histoire de la question et les grandes lignes de la
démonstration.
