Séminaire N. Bourbaki

Samedi 27 juin 2015

Le Séminaire a lieu à l'Institut Henri Poincaré (amphithéâtre Hermite), 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5^e.

Liens vers l'affiche et les résumés et les abstracts (PDF)

10h00

Sophie MOREL— Construction de représentations galoisiennes [d'après Scholze] [PDF] [YouTube]
Soit X une variété hyperbolique de dimension 3, quotient de l'espace hyperbolique par un groupe "arithmétique" d'isométries. Le programme de Langlands prédit que la cohomologie singulière de X à coefficients dans Z/nZ a une action naturelle du groupe de Galois absolu d'un corps de nombres ; ceci est surprenant a priori car X n'est pas une variété algébrique. L'idée est de relier la cohomologie de torsion de X à celle d'un autre espace localement symétrique qui se trouve être une variété de Shimura, donc en particulier une variété algébrique définie sur un corps de nombres. Cette idée a été mise en oeuvre indépendamment par Harris-Lan-Taylor-Thorne, Scholze et Boxer (l'ordre est chronologique, et les trois articles traitent un cas plus général que celui présenté ici). Nous nous concentrerons sur l'approche de Scholze.

11h30

Alexander MERKURJEV — Essential dimension [PDF] [YouTube]
Essential dimension of an algebraic object is the smallest number of algebraically independent parameters required to define the object. This notion was introduced by J. Buhler and Z. Reichstein in 1997. The relation to different parts of algebra such as algebraic geometry, Galois cohomology and representation theory will be discussed.

14h30

Gil KALAI — Designs exist! [after Peter Keevash] [PDF] [YouTube]
One of the central and oldest problems in combinatorics is: Can you find a collection S of q-subsets from an n-element set X so that every r-subset of X is included in precisely t sets in the collection? A collection S of this kind is called a design of parameters (n,q,r,t), a special interest is the case t = 1, and in this case S is called a Steiner system. It was conjectured that a design of parameters (n,q,r, t) exists for every q, r and t if n is sufficiently large and is admissible, namely if some necessary simple divisibility conditions are satisfied. Until recently the known constructions came very  far from this.
Here is a brief history of the problem: The existence of designs and Steiner systems was asked by Plücker (1835), Kirkman (1846) and Steiner (1853). For r = 2 which was of special interest, Richard Wilson (1972-1975) proved their existence for large enough admissible values of n. Rödl (1985) proved the existence of approximate objects (the property holds for (1-o(1)) r-subsets of X), thus answering a conjecture by Erdös and Hanani. Teirlink (1987) proved their existence for infinitely  many values of n when r and q are arbitrary and t is a certain large number depending on q and r but not on n. (His construction also does not have repeated blocks.) Keevash (2014) proved the existence of Steiner systems for all but finitely many admissible values of n for every q and r. He uses a new method referred to as Randomized Algebraic Constructions.
In the lecture I will describe the problem and its history and will try to explain some ingredients in the methods by Wilson, Rödl and Keevash.

16h00

Jean-Marc SCHLENKER — Variétés lorentziennes plates vues comme limites de variétés anti-de Sitter [d'après Danciger, Guéritaud et Kassel] [PDF] [YouTube]
Les espaces-temps de Margulis sont des quotients de l'espace de Minkowski de dimension 3 par des groupes libres agissant proprement discontinûment. Goldman, Labourie et Margulis ont montré qu'ils sont déterminés par une surface hyperbolique complète S munie d'une déformation de la métrique qui fait décroître uniformément les longueurs des géodésiques fermées. Danciger, Guéritaud et Kassel montrent que ces espaces sont des R-fibrés principaux sur S avec pour fibres des géodésiques de types temps, qu'ils sont homéomorphes à l'intérieur d'un bretzel, et qu'ils admettent un domaine fondamental bordé par des "plans croches" (crooked planes). Pour cela ils montrent que ces espaces-temps sont des versions "infinitésimales" de variétés anti-de Sitter de dimension 3 et sont conduits à introduire une paramétrisation nouvelle de l'espace des déformations d'une surface hyperbolique qui augmentent les longueurs de toutes les courbes fermées..

Sessions antérieures :

Session de janvier 2015

Session de mars 2015

Brochure

Des brochures contenant les quatre exposés de ce Séminaire seront distribués au début de chaque séance ; 300 exemplaires seront disponibles au cours de cette session.

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Remerciements

Une subvention du CNRS couvre une partie des frais d'organisation de ce Séminaire.